루트 계산법 중 루트 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기를 하는 방법에 관해 알아보는 글입니다. 이 글에서는 루트 계산기 없이 루트 쉽게 푸는 법을 알아보겠습니다. 초보자도 쉽고 빠르게 루트 계산을 할 수 있습니다.
루트란?
루트 계산법을 알아보기 전에 루트란 무엇인지 알아보겠습니다. 아래 사진을 보시면 정사각형이 나와 있는데요. 가로와 세로가 5인 경우 면적은 25가 됩니다. 5 곱하기 5가 25이기 때문이죠.
마찬가지로 가로 세로가 √ 25인 경우 면적은 동일하게 25가 나옵니다. 그 이유는 √ 25 × √ 25= 25이기 때문이죠.
그런데 여기서 의문점이 하나 듭니다. 5 × 5를 해서 25라는 값을 낼 수 있는데 굳이 √ 25 × √ 25 으로 25라는 값을 내야 할까요? 하지만 루트가 필요한 이유가 분명 있는데요. 그 이유를 바로 아래에서 알아보겠습니다.
예를 들어서 √ 4라는 값이 있습니다. 우리가 4라는 값을 내기 위해서 어떤 수를 제곱하면 4가 나올까요? 예를 들면 2 × 2가 4가 될 것입니다. 또는 √ 4 × √ 4가 4가 될 것입니다.
이렇게 √ 4를 제곱해서 4라는 값을 낼 수도 있지만, 자연 수인 2를 곱해서 4라는 값도 낼 수 있습니다.
이처럼 자연수만으로 제곱의 값을 낼 수 있는 숫자를 제곱수라고 하는데요. 예를 들면 4, 9, 16, 25, 36과 같은 숫자가 이와 같은 경우에 해당됩니다.
그런데 7, 10, 13, 20, 27과 같은 숫자의 경우에는 자연수의 제곱만으로 우리가 원하는 값을 낼 수가 없습니다.
예를 들어 7이라는 결과값을 내기 위해서 어떤 자연수를 곱해야 7이 나올까요? 4의 경우 2 곱하기 2를 하면 되는데요. 7의 경우 명확하게 어떤 자연수를 곱해야 7이 나오는지 우리가 예측을 하기가 어렵습니다.
이러한 경우에 루트가 필요한 것입니다. √ 7 × √ 7을 하면 7이 됩니다.
즉, 자연수의 제곱만으로 값을 구할 수 없을 때, 예를 들면 7, 10, 13, 20과 같은 숫자에 해당되죠. 이러한 숫자인 경우에 루트가 필요한 것입니다.
루트 계산법
1.더하기, 빼기
- 같은 루트끼리만 더하기, 빼기 가능
- a로 바꿔서 생각해보기
이제 루트 계산법을 바로 알아보겠습니다. 루트가 있는 숫자의 더하기, 빼기 하는 방법을 알아볼게요. 더하기, 빼기의 경우 같은 루트끼리만 더하기, 빼기가 가능합니다.
아래 사진을 보시면 √ 2 + √ 5가 있는데요. 이것을 더하면 √ 7이라는 값이 되지 않습니다. 왜냐하면 루트 안의 숫자가 동일해야 더하기 또는 뺄셈을 할 수 있기 때문입니다.
따라서 √ 2 + √ 2= 2√ 2가 계산이 되는 것입니다.
만약 헷갈린다면 √ 2를 a로 대치를 해서 계산을 해보시면 됩니다. 2√ 2 + 3√ 2= 5√ 2가 되는데요. a로 대치해보면 2a + 3a= 5a가 됩니다. 훨씬 보기가 편해졌죠?
뺄셈도 마찬가지입니다. 루트 안의 숫자가 동일한 경우에만 뺄셈을 할 수 있고요. 이번에도 √ 2 부분을 a라는 값으로 대치를 해서 값을 구해볼 수 있습니다.
3√ 2 – 2√ 2= √ 2인데요. 여기서 √ 2를 a로 대치하면 3a – 2a= a 가 됩니다. 이번에도 보기가 훨씬 편해진 것을 알 수 있습니다.
2.곱하기, 나누기
- 곱하기
- 루트 안에 포개서 사용 가능
- 근호 밖의 숫자, 근호 안의 숫자 각각 계산하기
- 나누기
- 역순으로 루트 안에 포개서 사용 가능
- 약분까지 가능하다면 약분까지 할 것
이번에는 곱하기 나누기 사용 방법을 알아보겠습니다. 곱하기, 나누기의 경우 루트 안에서 포개서 사용하는 것이 가능합니다.
예를 들어서 √ 2 × √ 3의 경우 하나의 루트 안에 √ 2 × 3이라고 표시를 해서 √ 6이라는 값을 구할 수 있습니다. 루트가 3개가 곱해진 경우에도 마찬가지입니다.
2√ 3 × 3√ 3 이라는 값이 있다고 해보겠습니다. 이 경우 루트 밖의 숫자가 각각 곱해져야 되고요. 루트 안의 숫자가 또 각각 곱해져야 됩니다.
따라서 2√ 3 × 3√ 3 에서 2와 3을 곱합니다. 그리고 루트 안의 숫자인 3과 3을 곱합니다. 그래서 6√ 9가 되는 것입니다.
나누기의 경우 역순으로 계산을 해줘야 됩니다. √ 2 ÷ √ 3인 경우에 √ 2 × √ ⅓으로 식이 바뀌므로 √ ⅔가 됩니다.
그리고 약분을 할 수 있는 경우라면 약분을 해주시면 되는데요. √ 2 ÷ √ 6인 경우 √ 2 × √ ⅙ 이 되니까 결론적으로 √ 6/2죠. 여기서 약분을 해주면 √ ⅓이 되는 것입니다.
루트 응용
- 제곱수의 경우 루트, 제곱을 한 번에 지우는 것 가능
이번엔 루트 응용 계산법에 대해서 알아볼게요. 제곱수가 포함되어 있는 경우에 루트와 제곱을 한 번에 지워서 자연수로 만들 수 있습니다.
예를 들어서 √ 12 + √ 27을 계산해본다고 해보겠습니다. 이 경우 바로 2^2 ×3으로 √ 12를 바꿀 수도 있는데요.
처음에는 이렇게 바로 바꾸는 것이 익숙하지 않을 수 있습니다. 따라서 12를 소인수 분해를 해주면 되는데요. 2 × 6이 12이죠. 그래서 아래 사진처럼 소인수 분해를 해줍니다.
6은 2 × 3이죠. 그래서 2와 3으로 또 소인수 분해를 해줍니다. 그럼 2^2 × 3이 됩니다. 27도 마찬가지로 소인수 분해를 해주면 3^2 × 3이 됩니다.
여기서 루트와 제곱이 같이 있는 경우라면 이 두 개를 동시에 지워서 자연수로 만들 수 있습니다. 따라서 2√ 3 + 3√ 3이 되어서 이것을 더하면 5√ 3이 되는 것입니다.
다른 예시도 한번 확인해 볼까요? 아래 사진을 볼게요. √ 24 × √ 36= √2^2 × 6 × √ 6^2이 됩니다. 따라서 2√ 6 × 6이 되고 결론적으로 12√ 6이라는 값이 나오게 됩니다.
마지막 예시도 알아볼게요. √ 45 + √ 20 – √ 8이라는 계산식이 있습니다.
여기서 45, 20, 8을 각각 소인수 분해를 해서 구해보면 (√ 3^2 × 5) + (√ 2^2 × 5) – (√ 2^2 × 2)가 됩니다. 따라서 루트 내의 숫자가 같은 3√ 5 + 2√ 5 를 계산하면 5√ 5가 되죠. 그리고 5√ 5에서 2√ 2를 뺀 값이 결과 값이 됩니다.
<결론>
- 루트 계산법
- 더하기, 빼기는 같은 루트끼리만 사용 가능
- 곱하기, 나누기는 루트 안에 포개서 사용 하기
- 나누기는 역순으로 사용해야 함
이상 루트 계산법에 관한 글이었습니다.